函数连续和极限存在的关系
有极限不一定连续,但是连续一定有极限。一个函数连续必须有两个条件,一个是在此处有定义,另外一个是在此区间内要有极限,因此说函数有极限是函数连续的必要不充分条件。
函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。例如气温随时间变化,只要时间变化很小,气温的变化也是很小的;又如自由落体的位移随时间变化,只要时间变化足够短,位移的变化也是很小的,对于这种现象,我们说因变量关于自变量是连续变化的,可用极限给出严格描述,设函数y=f(x)在x0点附近有定义,如果有lim(x->x0)f(x)=f(x0),则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续,则说f在I上连续,此时,它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。
在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数。连续单调递增(递减)函数的反函数,也连续单调递增(递减)。连续函数的复合函数是连续的。
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