如何正确地理解贝特朗悖论

1899年，法国学者贝特朗提出了贝特朗悖论，矛头直指几何概率概念本身：在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。

悖论分析：

由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60度到120度之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为三分之一 。此时假定端点在圆周上均匀分布；由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于四分之一点与四分之三点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的，则所求概率为二分之一。此时假定弦的中心在直径上均匀分布；弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的，则所求概率为四分之一。此时假定弦长被其中心唯一确定。

这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。